Delende polynomer

Delende polynomer

Algebra

  • Vi introduserer polynomer
  • Klassifisering av polynomer
  • Legge til og trekke fra polynomer
  • Multiplisere polynomer
  • Delende polynomer

Det er to teknikker du kan bruke til å beregne kvotienten til to polynomer, den ene (som kan føles litt kjent) vil fungere for alle polynomielle divisjonsproblemer, men tar en stund, mens den andre vil fungere mye raskere, men bare fungerer under spesifikke omstendigheter .



Lang inndeling

Den mest pålitelige måten å dele polynomier på er prosessen med lang divisjon; selv om prosessen er litt tungvint, fungerer den for hvert divisjonsproblem du ser. Det replikerer faktisk teknikken du lærte på barneskolen for å dele hele tall, i tilfelle du lurer på hvorfor det føles kjent.

Eksempel 5 : Beregn kvotienten til ( x 3+ 5 x 2- 3 x + 4) ( x 2+1).

Løsning : Start med å skrive om problemet i langdivisjonsnotasjon; de deler (det du deler med) går til venstre og utbytte (det du deler inn i) står under symbolet. Mens du skriver polynomene, må du forsikre deg om at det ikke er noen manglende eksponenter i verken divisor eller utbytte.

I dette problemet har deleren ingen x begrep; du vil ikke at den skal mangle, så du bør skrive den der inne med en koeffisient på 0. (Hvis du ikke gjør det, vil ikke ting stille seg riktig.)

Se på divisjonens første periode, x 2og utbyttets første løpetid, x 3. Spør deg selv: 'Hvilke tider x 2vil gi meg nøyaktig x 3? ' Svaret er x , og du bør skrive svaret over divisjonssymbolet. Du bør faktisk skrive den rett over -3 x , siden det og nummeret du nettopp kom på ( x ) er som vilkår.

by- og statliste

Multipliser det x og deleren sammen, og skriv resultatet under utbyttet, slik at lignende vilkår stemmer overens; tegne en horisontal linje under produktet.

Hvordan gjorde du det?

Grunnen til at du spør deg selv 'Hvilke tider x 2vil gi meg nøyaktig x 3? ' er slik at når du først skriver svaret, multipliserer det med deleren og multipliserer det med -1, får du stikk motsatt av utbyttets første periode. På den måten når du kombinerer vilkår, får du det x 3- x 3, som er lik 0, og eliminerer et begrep.

Multipliser nå alt i den nederste linjen med -1, og kombiner deretter resultatet med lignende termer rett over. Skriv resultatet under den horisontale linjen.

Slipp ned neste termin i utbyttepolynomet, i dette tilfellet en positiv 4, og gjenta prosessen ovenfor, og begynn med spørsmålet 'Hvilke tider x 2(den første termen i deleren) vil gi meg nøyaktig 5 x 2(den første termen i subtraksjonsproblemet du nettopp fullførte); svaret er 5. Skriv den konstante over divisjonssymbolet (rett over 4, dens like begrep), multipliser det ganger skilletegn, endre hvert av begrepene i produktet til det motsatte, og kombiner de samme begrepene.

Hvis det hadde vært flere vilkår i utbyttet, ville du slippe dem ned en om gangen og gjenta hele prosessen igjen, men siden det ikke er flere vilkår å slippe, er du ferdig. Kvotienten er mengden over divisjonssymbolet, x + 5, og resten er -4 x - 1.

Du bør skrive svaret ditt som kvotienten pluss brøken hvis teller er resten og hvis nevner er den opprinnelige skillelinjen, slik:

Midtøsten kartoversikt
  • x + 5 +-4 x - 1 x 2+1

Du kan sjekke svaret ditt ved å multiplisere kvotienten ( x + 5) ganger den opprinnelige deleren ( x 2+ 1) og deretter legge til resten.

  • (kvotient) (divisor) + (resten)
  • = ( x +5) ( x 2+1) + (- 4 x -1)
  • = x 3+ x + 5 x 2+ 5 - 4 x -1
  • = x 3+5 x 2+ x - 4 x + 5 - 1
  • = x 3+5 x 2-3 x +4

Hvis du gjorde alt riktig, bør du få det opprinnelige utbyttet; det var akkurat det som skjedde her, så du kan sole deg i gløden av din egen matematiske storhet, trygg i kunnskapen du styrer.

Du har problemer

Oppgave 5: Beregn kvotienten til ( x 2- 7 x + 8) ( x + 4).

Syntetisk divisjon

Hvis du prøver å dele et polynom med et lineært binomium (i form ' x - c ' hvor c kan være hvilket som helst reelt tall), så er den beste måten å gjøre det på gjennom syntetisk inndeling.

For eksempel delingsproblemet ( x 3- 2 x 2+ 3 - 4) ( x + 3) ville være en god kandidat for syntetisk divisjon; deleren er teknisk i form x - c , fordi hvis du setter c = -3, da x - c = x - (-3) = x + 3. Problemet ( x 3- 2 x 2+ 3 x - 4) ( x 2+ 3) ville ikke være en god kandidat, siden deleren ikke er lineær.

hva heter en gruppe hunder

Syntetisk inndeling er mye enklere enn lang divisjon fordi alt du bruker er koeffisientene til polynomene. Jeg vet ikke hvorfor det kalles 'syntetisk' divisjon, det er ikke unaturlig, fylt med konserveringsmidler eller falske. Det har aldri vært for plastikkirurgen å få en nipp, en stopper, et implantat eller en reduksjon, så navnet pusler meg. I likhet med lang divisjon, er den beste måten å lære prosessen på gjennom et eksempel, så jeg kommer rett til det.

Talk the Talk

Syntetisk inndeling er en snarveiteknikk for beregning av polynomkvoter, som bare gjelder når deleren er av formen x - c , hvor c er et reelt tall.

Eksempel 6 : Beregn kvotienten til (2 x 3- x + 4) ( x + 3).

Løsning : Sjekk først om det mangler krefter x i utbyttet; legg merke til at det ikke er noe x 2kraft der inne, så sett den inn med en koeffisient på 0 (akkurat som du gjorde i lang divisjon) for å få et utbytte på 2 x 3+ 0 x 2- x 4. Skriv nå opp koeffisientene i synkende rekkefølge av eksponentene.

  • 2014

Til venstre for listen, skriv motsatte av konstanten i divisoren. I dette problemet er deleren det x + 3, så det motsatte av konstanten vil være -3. Den er skilt fra resten av koeffisientene med noe som ser ut som en halv boks. La det være plass under den raden og tegn en vannrett linje.

gjør gult og rødt oransje

Oppsettet er helt ferdig, og det er på tide å komme i gang. Ta den fremste koeffisienten (2) og slipp den under den horisontale linjen.

Kritisk punkt

Selv om syntetisk inndeling bare kan brukes i en bestemt situasjon (gitt en lineær divisor av formen x - c ), vil det være ekstremt nyttig senere. Så selv om det i utgangspunktet er en snarvei til lang divisjon, er det absolutt verdt å lære.

Multipliser tallet i halvboksen (-3) ganger tallet under linjen (2) og skriv resultatet (-6) under neste koeffisient (0).

Kombiner tallene i den andre kolonnen (0 - 6 = -6) og skriv resultatet rett under tallene du nettopp kombinerte.

Gjenta prosessen to ganger til, hver gang multipliserer du tallet i boksen med det nye tallet under linjen, skriver resultatet i neste kolonne, legger til tallene i den kolonnen sammen og skriver resultatet under linjen igjen.

Du har problemer

Oppgave 6: Beregn kvotienten til (4 x 3- 2 x 2- 10 x + 1) ( x - 2).

Gamle testamentets bøker i rekkefølge

Svaret vil være hvert av tallene under linjen med avtagende krefter x ved siden av dem; start med x makt en mindre enn graden av utbyttet. Derfor er den første kraften i x i svaret ditt for dette problemet bør være 2. Hvis du lurer på, er tallet lengst til høyre under linjen resten, som er skrevet akkurat som det var i lang divisjon.

  • 2 x 2- 6 x + 17 +-47 x + 3

Du kan sjekke dette på samme måte som du gjorde lang divisjon: (2 x 2- 6 x + 17) ( x + 3) - 47 skal være lik 2 x 3- x + 4, og det gjør det.

CIG Algebra

Utdrag fra The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 av W. Michael Kelley. Alle rettigheter forbeholdt inkludert reproduksjonsrett, helt eller delvis, i noen form. Brukes etter avtale med Alpha Books , medlem av Penguin Group (USA) Inc.

Du kan kjøpe denne boken på Amazon.com og Barnes & Noble .