Algebra: Multipliserende polynomer

Multiplisere polynomer

Algebra

  • Vi introduserer polynomer
  • Klassifisering av polynomer
  • Legge til og trekke fra polynomer
  • Multiplisere polynomer
  • Delende polynomer

I motsetning til addisjon og subtraksjon trenger du ikke like vilkår for å multiplisere polynomer (og du trenger heller ikke like vilkår for å dele polynomer, men jeg vil diskutere det i neste avsnitt). Det er faktisk ganske enkelt å multiplisere polynomer. Alt du trenger å gjøre er å bruke eksponentielle regler og distribusjonsegenskapen, som du begge lærte i Encountering Expressions.



Produkter av Monomials

Her er hva du bør gjøre for å multiplisere to monomier sammen:

  1. Multipliser koeffisientene . Resultatet er koeffisienten til svaret.
  2. List opp alle variablene som vises i begge begrepene . Disse bør følge koeffisienten du fikk i trinn 1, helst i alfabetisk rekkefølge.
  3. Legg sammen kreftene . Bestem summen av samsvarende variablers eksponenter og skriv dem over den tilsvarende variabelen i svaret.
Hvordan gjorde du det?

Trinn 3 forteller deg å legge til kreftene til samsvarende variabler på grunn av den eksponentielle regelen fra Encountering Expressions som bestemmer at x til x b = x a + b . (Produktet av eksponentielle uttrykk med matchende baser tilsvarer basen hevet til summen av maktene.)

Selv om trinnene først virker rare, ikke bekymre deg. Å multiplisere monomials er en ferdighet du vil forstå veldig raskt.

Eksempel 3 : Beregn produktene.

  • (a) (-3 x 2 Y 3 Med 5) (7 xz 3)
  • Løsning : Multipliser først koeffisientene: -3 7 = -21; deretter liste opp alle variablene som vises i problemet i alfabetisk rekkefølge. (Det spiller ingen rolle at det andre monomiet ikke inneholder et Y . Så lenge en variabel vises hvor som helst i problemet, bør du liste den ved siden av koeffisienten du nettopp fant.)
  • -tjueen xyz
  • Legg sammen eksponentene for hver variabel du har oppført. Den første perioden har x til 2 makten, og den andre perioden har x til 1 makt, så svaret vil ha x til 2 + 1 = 3 strøm. Tilsvarende Med kraften i svaret skal være 8, siden det er en z til 5-kraften i den første monomialen og en z til den 3 i den andre. Siden det bare er ett ord, kopierer du bare kraften til det endelige svaret; det er ingenting å legge til.
  • -tjueen x 3 Y 3 Med 8
  • (b) 3 i 2 x (2 wxy - x 2 Y 2)
  • Løsning : Bruk fordelingsegenskapen, multipliser begge ord med 3 i 2 x .
  • 3 i 2 x (2 wxy ) + 3 i 2 x (- x 2 Y 2)
  • Finn hvert produkt separat.
  • 6 i 3 x 2 Y - 3 i 2 x 3 Y 2
Du har problemer

Oppgave 3: Beregn produktet.

3 x 2 Y (5 x 3+ 4 x 2 Y - 2 Y 5)

det lengste beinet i kroppen

Binomials, Trinomials, and Beyond

Kritisk punkt

Noen algebra-lærere fokuserer på FOIL-metoden, en teknikk for å multiplisere to binomaler. Hver bokstav står for et par ord i binomialene, de første, ytre, innvendige og siste vilkårene.

Hvis du aldri har hørt om FOIL, er det greit, for det fungerer bare for det spesielle tilfellet å multiplisere to binomaler, mens min multiple distribusjonsteknikk fungerer for alle polynomprodukter. Dessuten, hvis du bruker metoden min, ender du faktisk med å gjøre FOIL uansett, selv om det er utilsiktet.

Kelleys advarsler

Når du har multiplisert, må du alltid sørge for å se om du kan forenkle resultatet. Omtrent hver algebralærer i verden krever forenklede svar, og hvis du ikke overholder det, har de vært kjent for å gjøre ting som å markere svar galt, ta poeng av eller (i ekstreme tilfeller) bli så sint at de sender en cybernetisk organisme tilbake i tid for å drepe deg før du registrerer deg for deres klasse.

Beregning av polynomprodukter er en slags frigjøring. Som jeg har sagt, to termer trenger ikke å ha noe til felles å multipliseres sammen. (Basert på par jeg har møtt, tror jeg det samme gjelder mennesker, men jeg stikker av.) Så langt kan du bare multiplisere polynomiske uttrykk hvis et av dem er et monomium. I eksempel 3 (a) hadde du to monomaler, og i eksempel 3 (b) og oppgave 3 distribuerte du et monomial. Det viser seg at multiplisering av polynomer med mer enn ett begrep kan oppnås gjennom en litt modifisert versjon av distribusjonsegenskapen.

Du har problemer

Oppgave 4: Finn produktet og forenkle. (2 x + Y ) ( x - 3 Y )

Takket være den fordelende eiendommen, vet du allerede at uttrykket til ( b + c ) kan skrives om som borte + og ; bare multipliser til av hver ting i parentes. På en lignende måte kan du beregne produktet av uttrykket ( til + b ) ( c + d ), selv om du i dette tilfellet multipliserer binomaler. I stedet for bare å distribuere til , som du gjorde for øyeblikk siden, vil du distribuere hvert begrep i det første binomialet gjennom det andre binomialet, en om gangen.

siste stat som ble med i forbundet

Med andre ord vil du multiplisere alt i andre binomial med til og deretter gå gjennom og gjøre det igjen, denne gangen multipliserer du alt med b .

  • og + til + bc + bd

Så du distribuerer fortsatt, du gjør det bare to ganger, det er alt. Hva om du multipliserte et trinomial med et trinomial? Følg samme prosedyre; distribuere hvert begrep i det første polynomet gjennom det andre, ett om gangen.

  • ( til + b + c ) ( d + Og + f ) = til + NS + av + bd + være + bf + CD + dette + jfr

Hvis du lurer på, trenger ikke antall ord i polynomene å matche. Du kan multiplisere en binomial ganger en trinomial like enkelt, som du vil se i eksempel 4.

Eksempel 4 : Finn produktet og forenkle.

  • ( x - 2 Y ) ( x 2+ 2 xy - Y 2)

Løsning : Hvert ledd i venstre polynom, x og -2 Y , skal distribueres gjennom det andre polynomet, ett om gangen.

  • ( x ) ( x 2) + ( x ) (2 xy ) + ( x ) (- Y 2) + (-2 Y ) ( x 2) + (-2 Y ) (2 xy ) + (-2 Y ) (- Y 2)

Hvis du plasserer alle vilkårene i parentes, trenger du ikke å bekymre deg for tegn med en gang. Det spiller ingen rolle om noen begreper er positive og andre er negative; bare skriv dem alle i parentes og legg til alle produktene sammen.

Nå er alt du trenger å gjøre å multiplisere par monomialer sammen.

  • x 3+ 2 x 2 Y - xy 2- 2 x 2 Y - 4 xy 2+ 2 Y 3

Retningslinjene for problemet ber deg om å forenkle, noe som betyr at du nå bør se etter ord som kan kombineres. Hvis du ser nøye etter, vil du se at vilkårene 2 x 2 Y og -2 x 2 Y har samme variabel, slik at de kan kombineres for å få 0 (de er motsetninger av hverandre, slik at de avbryter hverandre). I tillegg kan du kombinere vilkårene - xy 2og -4 xy 2å få -5 xy 2.

  • x 3- 5 xy 2+ 2 Y 3
CIG Algebra

Utdrag fra The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 av W. Michael Kelley. Alle rettigheter forbeholdt inkludert reproduksjonsrett, helt eller delvis, i noen form. Brukes etter avtale med Alpha Books , medlem av Penguin Group (USA) Inc.

Du kan kjøpe denne boken på Amazon.com og Barnes & Noble .